Sono dati i vettori A = -2x + 3y
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Sono dati i vettori $\vec A = -2\hat x + 3\hat y$, $\vec B = 4\hat x – 2\hat y + \hat z$ e $\vec C = \hat x + \hat y – \hat z$. Calcola $\vec A \cdot (\vec B \times \vec C)$.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Sono dati i vettori A = -2x + 3y
Concetti chiave utilizzati:
1. Grandezze vettoriali: Sono descritte da modulo, direzione e verso e si rappresentano con una freccia.
2. Prodotto vettoriale: Dati due vettori \(\vec B\) e \(\vec C\), il loro prodotto vettoriale è dato dalla formula:
\[
\vec B \times \vec C = (B_y C_z – B_z C_y)\hat x + (B_z C_x – B_x C_z)\hat y + (B_x C_y – B_y C_x)\hat z
\]
3. Prodotto scalare: Dati due vettori \(\vec A\) e \(\vec D\), il loro prodotto scalare è dato dalla formula:
\[
\vec A \cdot \vec D = A_x D_x + A_y D_y + A_z D_z
\]
Dati dell’esercizio:
\(\vec A = -2\hat x + 3\hat y\)
\(\vec B = 4\hat x – 2\hat y + \hat z\)
\(\vec C = \hat x + \hat y – \hat z\)
Passaggi della risoluzione:
1. Calcolo del prodotto vettoriale \(\vec B \times \vec C\):
Utilizzando la formula fornita:
\[
\vec B \times \vec C = (B_y C_z – B_z C_y)\hat x + (B_z C_x – B_x C_z)\hat y + (B_x C_y – B_y C_x)\hat z
\]
Sostituendo i valori dati:
\(B_y = -2\), \(B_z = 1\), \(C_x = 1\), \(C_y = 1\), \(C_z = -1\)
Le componenti del vettore risultante dal prodotto vettoriale \(\vec B \times \vec C\) sono:
\[
\vec D = \hat x + 5\hat y + 6\hat z
\]
2. Calcolo del prodotto scalare \(\vec A \cdot \vec D\):
Utilizzando la formula del prodotto scalare:
\[
\vec A \cdot \vec D = A_x D_x + A_y D_y + A_z D_z
\]
Dove \(A_x = -2\), \(A_y = 3\), \(A_z = 0\), \(D_x = 1\), \(D_y = 5\), \(D_z = 6\).
Il prodotto scalare tra \(\vec A\) e \(\vec D\) è:
\[
\vec A \cdot \vec D = -2(1) + 3(5) = 13
\]
Risultato:
Il prodotto scalare \(\vec A \cdot (\vec B \times \vec C)\) è \(13\).
Spiegazione:
Abbiamo iniziato calcolando il prodotto vettoriale tra \(\vec B\) e \(\vec C\) per ottenere un nuovo vettore \(\vec D\). Successivamente, abbiamo calcolato il prodotto scalare tra \(\vec A\) e \(\vec D\) per ottenere il risultato finale. Durante questo processo, abbiamo utilizzato le formule fornite per il prodotto vettoriale e scalare, e abbiamo sostituito i valori dati per ottenere il risultato.
