Il prodotto scalare tra i vettori
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Il prodotto scalare tra i vettori $\vec A$ e $\vec B$ è uguale a 10,0. Il modulo del loro prodotto vettoriale è 17,3. Calcola l’ampiezza dell’angolo tra i due vettori.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Il prodotto scalare tra i vettori
Concetti chiave utilizzati:
1. Prodotto Scalare: Il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla formula
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos(\theta)
\]
dove \(A\) e \(B\) sono i moduli dei vettori e \(\theta\) è l’angolo tra loro.
2. Prodotto Vettoriale: Il prodotto vettoriale tra due vettori è dato dalla formula
\[
\vec{A} \times \vec{B} = AB \sin(\theta)
\]
dove la direzione è perpendicolare al piano dei vettori e il verso è determinato dalla regola della mano destra.
3. Relazione tra Seno e Coseno: La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo, ovvero
\[
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
\].
Ora, procediamo con la risoluzione dell’esercizio:
Dati dell’esercizio:
– \(\vec{A} \cdot \vec{B} = 10.0\) (prodotto scalare)
– \(|\vec{A} \times \vec{B}| = 17.3\) (modulo del prodotto vettoriale)
Passaggi della risoluzione:
1. Calcolo di \(AB\): Dalla formula del prodotto scalare, possiamo isolare \(AB\) come segue:
\[
AB = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\cos(\theta)}
\]
Poiché non conosciamo \(\theta\), non possiamo calcolare \(AB\) direttamente da questa formula. Tuttavia, possiamo utilizzare le informazioni dal prodotto vettoriale.
2. Utilizzo del Prodotto Vettoriale: Dato che il modulo del prodotto vettoriale è \(|\vec{A} \times \vec{B}| = 17.3\) e usando la formula del prodotto vettoriale, possiamo scrivere:
\[
AB\sin(\theta) = 17.3
\]
Da cui possiamo anche isolare \(AB\) come:
\[
AB = \frac{17.3}{\sin(\theta)}
\]
3. Uguaglianza delle Espressioni per \(AB\): Dato che \(AB\) ottenuto dal prodotto scalare e \(AB\) ottenuto dal prodotto vettoriale devono essere uguali, possiamo impostare le due espressioni di \(AB\) uguali tra loro e risolvere per \(\theta\):
\[
\frac{10.0}{\cos(\theta)} = \frac{17.3}{\sin(\theta)}
\]
Questo implica che:
\[
\tan(\theta) = \frac{17.3}{10.0}
\]
4. Calcolo di \(\theta\): Ora possiamo trovare \(\theta\) calcolando l’arcotangente del rapporto trovato sopra. Dopo aver calcolato l’arcotangente del rapporto \(17.3/10.0\), troviamo che l’angolo \(\theta\) è approssimativamente \(1.047\) radianti. Quando convertiamo questo valore in gradi, otteniamo circa \(59.97^\circ\).
Risultato:
L’ampiezza dell’angolo \(\theta\) tra i due vettori è circa \(59.97^\circ\).
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato le informazioni date sul prodotto scalare e sul prodotto vettoriale per stabilire una relazione tra le funzioni trigonometriche di \(\theta\) (seno e coseno). Questo ci ha permesso di esprimere tale relazione in termini di tangente, che è il rapporto tra seno e coseno. Calcolando l’arcotangente di questo rapporto, siamo stati in grado di determinare l’angolo tra i due vettori.
