Un robot viene programmato
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Un robot viene programmato per muoversi all’interno di un hangar. I ricercatori usano due pareti perpendicolari come sistema di riferimento cartesiano e l’angolo tra le pareti come origine. Rispetto a questo sistema di riferimento, il robot si trova all’inizio nel punto A(12 m; 8m), da qui si sposta in linea retta in un altro pnto B(36 m; 16 m). Poi compie un altro spostamento rettilineo $\vec s_2$ di componenti $s_{2x} = -9 m$ e $s_{2y} = 18 m$. Calcola: la lunghezza totale del cammino percorso dal robot; il modulo del suo spostamento totale $\vec s_{tot}$; l’angolo che il vettore $\vec s_{tot}$ forma con il verso positivo dell’asse x.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un robot viene programmato
Per risolvere questo esercizio, seguiremo una serie di passaggi che ci permetteranno di calcolare la lunghezza totale del cammino percorso dal robot, il modulo del suo spostamento totale e l’angolo che tale spostamento forma con l’asse x positivo. Utilizzeremo i concetti di vettori, componenti vettoriali, somma di vettori e calcolo di moduli e angoli.
Dati dell’esercizio:
Posizione iniziale del robot: \(A(12 m; 8m)\)
Seconda posizione del robot: \(B(36 m; 16 m)\)
Terzo spostamento del robot: \(\vec s_2\) con componenti \(s_{2x} = -9 m\) e \(s_{2y} = 18 m\)
Passaggi della risoluzione:
Passaggio 1: Calcolo del primo spostamento \(\vec s_1\)
Il primo spostamento del robot è da punto \(A\) a punto \(B\). Possiamo calcolare le componenti di questo spostamento (\(s_{1x}\) e \(s_{1y}\)) sottraendo le coordinate di \(A\) da quelle di \(B\):
\[s_{1x} = B_x – A_x = 36m – 12m = 24m\]
\[s_{1y} = B_y – A_y = 16m – 8m = 8m\]
Passaggio 2: Calcolo della lunghezza del cammino percorso
La lunghezza totale del cammino percorso dal robot è la somma dei moduli dei singoli spostamenti. Calcoliamo il modulo di \(\vec s_1\) usando il teorema di Pitagora e poi sommiamo il modulo di \(\vec s_2\) dato dalle sue componenti.
\[ d = \sqrt{(24\,m)^2 + (8\,m)^2} + \]
\[+ \sqrt{(-9\,m)^2 + (18\,m)^2} = 45.42\,m \]
Passaggio 3: Calcolo dello spostamento totale \(\vec s_{tot}\)
Lo spostamento totale può essere trovato sommando vettorialmente \(\vec s_1\) e \(\vec s_2\). Questo significa che sommiamo le loro componenti lungo gli assi x e y.
\[s_{tot_x} = 24 \, \text{m} – 9 \, \text{m} = 15 \, \text{m}\]
\[s_{tot_y} = 8 \, \text{m} + 18 \, \text{m} = 26 \, \text{m}\]
Passaggio 4: Calcolo dell’angolo di \(\vec s_{tot}\) e del suo modulo
L’angolo che lo spostamento totale \(\vec s_{tot}\) forma con l’asse x positivo è:
\[\theta = \arctan\left(\frac{26}{15}\right) = 60.02^\circ\]
Il modulo dello spostamento totale \(\vec s_{tot}\) è:
\[s_{tot} = \sqrt{(15\,m)^2 + (26\,m)^2} = 30.02\,m\]
Spiegazione:
1. Concetti chiave utilizzati:
Abbiamo utilizzato il concetto di grandezze vettoriali e le loro componenti per descrivere gli spostamenti del robot.
Abbiamo applicato il metodo punta-coda per sommare i vettori.
Abbiamo usato il teorema di Pitagora per calcolare il modulo dei vettori.
Abbiamo utilizzato la funzione arctan per determinare l’angolo tra lo spostamento totale e l’asse x.
2. Dati dell’esercizio:
Posizione iniziale \(A(12 m; 8m)\), posizione finale \(B(36 m; 16 m)\), e terzo spostamento \(\vec s_2\) con componenti \(s_{2x} = -9 m\) e \(s_{2y} = 18 m\).
3. Passaggi della risoluzione:
Abbiamo calcolato le componenti del primo spostamento \(\vec s_1\) sottraendo le coordinate di \(A\) da quelle di \(B\).
Abbiamo calcolato la lunghezza totale del cammino percorso sommando i moduli di \(\vec s_1\) e \(\vec s_2\).
Abbiamo determinato lo spostamento totale \(\vec s_{tot}\) sommando le componenti di \(\vec s_1\) e \(\vec s_2\).
Abbiamo calcolato l’angolo che \(\vec s_{tot}\) forma con l’asse x e il suo modulo.
4. Risultato:
La lunghezza totale del cammino percorso dal robot è \(45.42\,m\).
Il modulo dello spostamento totale \(\vec s_{tot}\) è \(30.02\,m\).
L’angolo che \(\vec s_{tot}\) forma con l’asse x è \(60.02^\circ\).
5. Spiegazione:
Il robot ha percorso una distanza totale di \(45.42\,m\) ma il suo spostamento netto dal punto di partenza è solo di \(30.02\,m\) nella direzione che forma un angolo di \(60.02^\circ\) con l’asse x positivo. Questo dimostra che la distanza percorsa e lo spostamento netto sono due concetti distinti: il primo è la lunghezza totale del percorso effettuato, mentre il secondo è la “distanza in linea retta” tra la posizione di partenza e quella finale.
