Due vettori a e b di modulo
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Due vettori $\vec a$ e $\vec b$ di modulo rispettivamente 4,0 cm e 6,0 cm formano un angolo di 120°. Determina il modulo del vettore $\vec c = \vec b – \vec a$.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Due vettori a e b di modulo
Concetti chiave utilizzati:
1. Le grandezze vettoriali sono descritte in modo completo da modulo, direzione e verso.
2. I vettori possono essere scomposti lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
3. La somma tra due o più vettori si ottiene calcolando le componenti lungo gli assi x e y.
4. Il teorema di Pitagora può essere utilizzato per determinare il modulo di un vettore a partire dalle sue componenti.
Dati dell’esercizio:
– \( \vec{a} \) ha modulo \( a = 4,0 \) cm e giace sull’asse orizzontale.
– \( \vec{b} \) ha modulo \( b = 6,0 \) cm e forma un angolo di \( \theta = 120^\circ \) con \( \vec{a} \).
– Si vuole determinare il modulo del vettore \( \vec{c} = \vec{b} – \vec{a} \).
Passaggi della risoluzione:
1. Scomposizione dei vettori lungo gli assi cartesiani:
– Per il vettore \( \vec{a} \) che giace sull’asse orizzontale:
\[ a_x = a = 4,0 \text{ cm} \]
\[ a_y = 0 \text{ cm} \]
– Per il vettore \( \vec{b} \):
\[ b_x = b \cos(120^\circ) = -3,0 \text{ cm} \]
\[ b_y = b \sin(120^\circ) \approx 5,196 \text{ cm} \]
2. Calcolo delle componenti del vettore \( \vec{c} \):
\[ c_x = b_x – a_x = -7,0 \text{ cm} \]
\[ c_y = b_y – a_y = 5,196 \text{ cm} \]
3. Determinazione del modulo del vettore \( \vec{c} \):
\[ c = \sqrt{c_x^2 + c_y^2} \approx 8,718 \text{ cm} \]
Risultato:
Il modulo del vettore \( \vec{c} \) risultante dalla differenza tra i vettori \( \vec{b} \) e \( \vec{a} \) è di circa \( 8,718 \) cm.
Spiegazione:
Abbiamo iniziato scomponendo i vettori \( \vec{a} \) e \( \vec{b} \) nelle loro componenti lungo gli assi x e y. Successivamente, abbiamo calcolato le componenti del vettore \( \vec{c} \) sottraendo le componenti corrispondenti di \( \vec{a} \) da \( \vec{b} \). Infine, abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per determinare il modulo del vettore \( \vec{c} \) a partire dalle sue componenti.
