Il vettore a ha componenti
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Il vettore $\vec a$ ha componenti cartesiane $a_x = -15 m$ e $a_y = 30 m$. Disegna il vettore $\vec a$. Calcola il modulo del vettore e l’angolo che esso forma con il verso positivo dell’asse x.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Il vettore a ha componenti
Concetti chiave utilizzati:
1. Un vettore può essere rappresentato in termini delle sue componenti cartesiane lungo gli assi \(x\) e \(y\).
2. Il modulo di un vettore è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti.
3. L’angolo che un vettore forma con l’asse \(x\) può essere determinato utilizzando le funzioni trigonometriche inverse.
Dati dell’esercizio:
– Componente \(x\) del vettore \(\vec a\): \(a_x = -15 m\)
– Componente \(y\) del vettore \(\vec a\): \(a_y = 30 m\)
Passaggi della risoluzione:
1. Disegno del vettore \(\vec a\):
Il vettore \(\vec a\) ha una componente negativa lungo l’asse \(x\) e una componente positiva lungo l’asse \(y\). Questo significa che il vettore si trova nel secondo quadrante del sistema di coordinate cartesiane.
2. Calcolo del modulo del vettore \(\vec a\):
Utilizzando il teorema di Pitagora, possiamo calcolare il modulo del vettore \(\vec a\) come:
\[ | \vec a | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \]
\[ | \vec a | = \sqrt{(-15 m)^2 + (30 m)^2} = \]
\[ = 15\sqrt{5} m \approx 33.54 m \]
3. Calcolo dell’angolo \(\theta\) che il vettore forma con il verso positivo dell’asse \(x\):
Utilizzando la funzione tangente inversa (arcotangente), possiamo determinare l’angolo \(\theta\) come:
\[ \theta = \arctan\left(\frac{a_y}{a_x}\right) \]
\[ \theta = \arctan\left(\frac{30 m}{-15 m}\right) = -63.43^\circ \]
Poiché il vettore si trova nel secondo quadrante, l’angolo effettivo sarà \(180^\circ + (-63.43^\circ) = 116.57^\circ\).
Risultato:
– Il modulo del vettore \(\vec a\) è \( | \vec a | \approx 33.54 m \).
– L’angolo che il vettore \(\vec a\) forma con il verso positivo dell’asse \(x\) è \( \theta \approx 116.57^\circ \).
Spiegazione:
Il modulo di un vettore rappresenta la sua “lunghezza” o “intensità”, ed è calcolato utilizzando il teorema di Pitagora. L’angolo che un vettore forma con l’asse \(x\) indica la direzione del vettore nel sistema di coordinate cartesiane. In questo caso, dato che il vettore \(\vec a\) ha una componente \(x\) negativa e una componente \(y\) positiva, si trova nel secondo quadrante, e quindi l’angolo è compreso tra \(90^\circ\) e \(180^\circ\).
