Un vettore a ha componenti
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Un vettore $\vec a$ ha componenti $a_x$ e $a_y$. La componente lungo l’asse y del vettore $\vec a + \vec b$ è il doppio di $a_y$ e la componente lungo l’asse x vale zero. Determina le componenti del vettore $\vec b$.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un vettore $\vec a$ ha componenti
Concetti chiave utilizzati:
1. Un vettore può essere scomposto nelle sue componenti lungo gli assi cartesiani.
2. La somma tra due o più vettori si ottiene sommando le loro componenti lungo gli assi cartesiani.
3. Un vettore può essere rappresentato come la somma delle sue componenti lungo gli assi cartesiani.
Dati dell’esercizio:
1. Componenti del vettore \(\vec{a}\): \(a_x\) e \(a_y\).
2. Componente lungo l’asse y del vettore \(\vec{a} + \vec{b}\): \(2a_y\).
3. Componente lungo l’asse x del vettore \(\vec{a} + \vec{b}\): \(0\).
Passaggi della risoluzione:
Passaggio 1: Esprimiamo le componenti del vettore \(\vec{b}\) in termini di \(b_x\) e \(b_y\).
Passaggio 2: Utilizzando il concetto chiave 2, possiamo scrivere le componenti del vettore somma \(\vec{a} + \vec{b}\) come:
\[ (a_x + b_x) \hat{x} + (a_y + b_y) \hat{y} \]
Passaggio 3: Dall’esercizio sappiamo che la componente lungo l’asse y del vettore \(\vec{a} + \vec{b}\) è \(2a_y\). Quindi:
\[ a_y + b_y = 2a_y \]
Da cui possiamo ricavare:
\[ b_y = a_y \]
Passaggio 4: Dall’esercizio sappiamo anche che la componente lungo l’asse x del vettore \(\vec{a} + \vec{b}\) è \(0\). Quindi:
\[ a_x + b_x = 0 \]
Da cui possiamo ricavare:
\[ b_x = -a_x \]
Risultato:
Le componenti del vettore \(\vec{b}\) sono:
\[ b_x = -a_x \]
\[ b_y = a_y \]
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato le proprietà dei vettori e la loro scomposizione lungo gli assi cartesiani per determinare le componenti del vettore \(\vec{b}\). In particolare, abbiamo sfruttato le informazioni fornite sull’esercizio riguardo alle componenti del vettore somma \(\vec{a} + \vec{b}\) per risolvere il problema.
