Una slitta per il trasporto delle barche
Categoria: FISICA | FORZE | FORZA ATTRITO
Testo del quesito
Una slitta per il trasporto delle barche deve essere tenuta ferma sullo scivolo che le immette in acqua, che ha una pendenza di 30° rispetto al’orizzontale. Viene legata con una fune di costante elastica k = 2500 N/m. La slitta ha una massa di 60 kg. Trascurando l’attrito, di quanto si allungherebbe la fune? Nella realtà bisogna considerare i coefficienti di attrito statico $\mu_s = 0,50$ e dinamico $\mu_d = 0,40$ fra la slitta e lo scivolo. In queste condizioni si allunga la fune? Se si, di quanto?
Introduzione all'Argomento
1) Forze
Le forze occupano una posizione particolarmente rilevante nella fisica, in quanto fungono da tramite tra la matematica e il mondo fisico che ci circonda. Esse non solo catalizzano il cambiamento, modellando il dinamismo e la struttura delle particelle, ma incarnano anche il fulcro attraverso il quale si snodano interazioni fondamentali, dall’attrazione gravitazionale alla forza elettromagnetica. Nello studio delle forze ci imbattiamo in concetti di causa ed effetto, azione e reazione, esplorando le leggi che governano il moto e studiando i meccanismi invisibili che regolano le particelle.
2) Forza attrito
In questa lezione, ci addentreremo nel fenomeno della forza d’attrito, un aspetto quotidiano che sperimentiamo ogni volta che muoviamo oggetti su una superficie. La forza d’attrito è quella forza che si oppone al movimento relativo tra due superfici a contatto, come ad esempio una slitta che scivola lungo una collina o una tazza che viene spinta sul tavolo. La sua origine risiede nelle microscopiche irregolarità presenti sulle superfici, che tendono a “agganciarsi” l’una all’altra, ostacolando il movimento. Distinguiamo principalmente tre tipi di attrito: l’attrito statico, dinamico e viscoso.
Risoluzione – Una slitta per il trasporto delle barche
Concetto chiave 1:
La forza è una grandezza vettoriale caratterizzata da modulo, direzione e verso. Questo significa che quando calcoliamo le forze, dobbiamo considerare non solo la loro intensità, ma anche la direzione in cui agiscono.
Dati dell’esercizio:
– Angolo di pendenza dello scivolo: \( \theta = 30^\circ \)
– Costante elastica della fune: \( k = 2500 \, \text{N/m} \)
– Massa della slitta: \( m = 60 \, \text{kg} \)
– Accelerazione di gravità: \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \)
– Coefficiente di attrito statico: \( \mu_s = 0,50 \)
– Coefficiente di attrito dinamico: \( \mu_d = 0,40 \)
Passaggio 1: Calcolo della forza peso
Concetto chiave 2:
La forza peso è data dalla formula \( F_p = mg \).
\[ F_p = m \times g = 588.6 \, \text{N} \]
Passaggio 2: Scomposizione della forza peso lungo gli assi cartesiani.
Concetto chiave 3:
Essendo vettori, possiamo scomporre le forze lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
\[ F_{p_x} = F_p \sin(\theta) = 294.3 \, \text{N} \]
\[ F_{p_y} = F_p \cos(\theta) = 509.74 \, \text{N} \]
Passaggio 3: Calcolo dell’allungamento della fune senza attrito.
Concetto chiave 4:
La forza elastica di una molla rispetta la legge di Hooke: \( \vec F = -k \vec x \). Per calcolare l’allungamento x della fune, possiamo utilizzare la formula:
\[ x = \frac{F}{k} \]
Dove \( F \) è la forza applicata sulla fune, che in assenza di attrito è uguale alla componente orizzontale della forza peso \( F_{p_x} \).
\[ x = 0.11772 \, \text{m} \]
Passaggio 4: Calcolo della forza di attrito statico.
Concetto chiave 5:
La forza di attrito è data dal prodotto tra il coefficiente di attrito e la forza premente perpendicolare alla superficie.
\[ F_{att_s} = \mu_s F_{\perp} \]
dove \( F_{\perp} \) è la forza perpendicolare, che in questo caso è uguale alla componente verticale della forza peso \( F_{p_y} \).
\[ F_{att_s} = 254.87 \, \text{N} \]
Passaggio 5: Confronto tra la forza di attrito statico e la componente orizzontale della forza peso.
Concetto chiave 6:
Per determinare se la slitta inizia a muoversi, dobbiamo confrontare la forza di attrito statico con la componente orizzontale della forza peso. Se \( F_{att_s} \) è maggiore o uguale a \( F_{p_x} \) la slitta rimane ferma. Altrimenti, inizia a muoversi.
Dato che \( F_{att_s} = 254.87 \, \text{N} \) e \( F_{p_x} = 294.3 \, \text{N} \) possiamo vedere che \( F_{att_s} \) è minore di \( F_{p_x} \). Questo significa che la slitta inizia a muoversi.
Passaggio 6: Calcolo dell’allungamento della fune considerando l’attrito.
Concetto chiave 7:
La forza netta che causa l’allungamento della fune è la differenza tra la componente orizzontale della forza peso e la forza di attrito dinamico. Calcoliamo quest’ultima forza:
\[ F_{att_d} = \mu_d F_{\perp} = 203.9 \, \text{N} \]
Passaggio 7: Calcolo della forza netta che causa l’allungamento della fune.
Concetto chiave 8:
La forza netta \( F_{net} \) che causa l’allungamento della fune è la differenza tra la componente orizzontale della forza peso \( F_{p_x} \) e la forza di attrito dinamico \( F_{att_d} \).
\[ F_{net} = F_{p_x} – F_{att_d} = 90.4 \, \text{N} \]
Passaggio 8: Calcolo dell’allungamento della fune considerando l’attrito.
Concetto chiave 9:
Utilizzando la legge di Hooke, possiamo calcolare l’allungamento \( x \) della fune quando è sottoposta alla forza netta \( F_{net} \).
\[ x = \frac{F_{net}}{k} = 0.03616 \, \text{metri} \]
Conclusione:
1. Senza considerare l’attrito, la fune si allungherebbe di \( 11.772 \, \text{cm} \).
2. Considerando l’attrito, la fune si allungherebbe di \( 3.616 \, \text{cm} \).
L’attrito tra la slitta e lo scivolo riduce l’allungamento della fune, poiché una parte della forza peso viene bilanciata dalla forza di attrito. Questo significa che la forza netta che causa l’allungamento della fune è minore quando si considera l’attrito.
