Tre palline di massa m1 = 150 g
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Tre palline di massa m1 = 150 g, m2 = 200 g e m3 si muovono su un piano orizzontale con velocità iniziali v1 = 1,00 m/s, v2 = 0,800 m/s e v3 = 0,500 m/s. Le tre velocità formano con l’asse positivo delle x rispettivamente angoli di 30,0°, 90,0° e 300°.
Sapendo che p2y = p3y , determina:
1. La massa della terza pallina;
2. La quantità di moto totale del sistema (modulo e angolo formato con l’asse x).
Introduzione all’Argomento:
La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale (dotata quindi di direzione, verso e modulo) che, per definizione, è data dal prodotto tra la massa e la velocità del corpo stesso. In un qualsiasi sistema di riferimento inerziale (dove vale cioè il principio di inerzia), essa è una grandezza fisica conservativa. Riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendo di determinare il vettore velocità dei corpi dopo l’urto (direzione, verso e modulo).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo tre palline di massa m1, m2 e m3 che si muovono con velocità diverse formando angoli diversi con l’asse x. Analizzando la situazione, capiamo che per determinare la quantità di moto totale del sistema basta fare la somma vettoriale delle singole quantità di moto delle tre palline. Si deve dunque scomporre ognuno dei tre vettori lungo gli assi cartesiani e procedere poi al calcolo. E’ perciò fondamentale saper padroneggiare seno, coseno e tangente al meglio, al fine di evitare di incappare in errori banali.
Risoluzione dell’Esercizio:
Calcolo le qualità di moto delle prime due palline:
$$p_1=m_1v_1=$$
$$=0,150kg\times1,00\frac{m}{s}=0,150kg\cdot\frac{m}{s}$$
$$p_2=m_2v_2=$$
$$=0,200kg\times0,800\frac{m}{s}=0,160kg\cdot\frac{m}{s}$$
Dal grafico noto che $p_2=p_{2_y}$ (infatti l’angolo che forma con il semiasse positivo delle $x$ è di 90°.
Dunque:
$$p_{3_y}=-p_{2_y}=-p_2= -0,160kg\cdot\frac{m}{s}$$
So anche che: $p_{3_y}=m_3v_3\sin\alpha$, da cui ricavo che:
$$m_3=\frac{p_{3_y}}{v_3\sin\gamma}
=$$
$$=\frac{-0,160kg\cdot\frac{m}{s}}{0,500\frac{m}{s}\times\sin(300^\circ)}
=0,370kg=370g$$
Determino ora le componenti cartesiane delle tre palline:
$$p_{1} :
\begin{cases}
p_{x_{1}}=p_{1}\cos\alpha=0,150kg\cdot\frac{m}{s}\times\\\\p_{y_{1}}=p_{1}\sin\alpha=0,150kg\cdot\frac{m}{s}\times\end{cases}$$
$$\begin{cases}
\times\cos(30^\circ)=0,130kg\cdot\frac{m}{s}\\\\\times\sin(30^\circ)=0,075kg\cdot\frac{m}{s}\end{cases}$$
$$p_{2} :
\begin{cases}
p_{x_{2}}=p_2\cos\beta=0,160kg\cdot\frac{m}{s}\times\\\\p_{y_{2}}=p_2\sin\beta=0,160kg\cdot\frac{m}{s}\times
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
\times\cos(90^\circ)=0\\\\\times\sin(90^\circ)=0,160kg\cdot\frac{m}{s}
\end{cases}$$
$$p_{3} :
\begin{cases}
p_{x_{3}}=p_{3}\cos\gamma=
0,092kg\cdot\frac{m}{s}\\\\p_{y_{3}}=-0,160 kg\cdot\frac{m}{s}\end{cases}$$
Ricordo che nel calcolo di $p_{3_x}$ abbiamo utilizzato la relazione: $p_{3}=\frac{p_{3_y}}{\sin\gamma}$.
Calcolo ora le componenti cartesiane della quantità di moto totale del sistema:
$$p_{tot} :
\begin{cases}p_{x_{tot}}
=p_{x_{1}}+p_{x_{2}}+p_{x_{3}}=(0,130+\\\\p_{y_{tot}}
=p_{y_{1}}+p_{y_{2}}+p_{y_{3}}
=(0,075+\end{cases}$$
$$\begin{cases}+0+0,092)kg\cdot\frac{m}{s}
=0,222kg\cdot\frac{m}{s}\\\\+0,160-0,160)kg\cdot\frac{m}{s}
=0,075kg\cdot\frac{m}{s}\end{cases}$$
Dunque, applicando il teorema di Pitagora:
$$p_{tot}=\sqrt{(p_{x_{tot}})^2+(p_{y_{tot}})^2}
=$$
$$=\sqrt{(0,222kg\times\frac{m}{s})^2+(0,075kg\times\frac{m}{s})^2}
=$$
$$=0,235kg\times\frac{m}{s}$$
Determino ora l’angolo che la quantità di moto totale del sistema forma con il semiasse positivo delle $x$, sapendo che:
$$\sin\theta=\frac{p_{tot_y}}{p_{tot}}$$
da cui:
$$\theta=\sin^{-1}\left (\frac{p_{tot_y}}{p_{tot}}\right )=$$
$$=\sin^{-1}\left (\frac{0,075 kg\times\frac{m}{s}}{0,235 kg\times\frac{m}{s}}\right )
=18,6^\circ$$
