Il semiasse maggiore dell’orbita della Terra è
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Il semiasse maggiore dell’orbita della Terra è a = 1,496 x 10^11 m e la sua eccentricità è e = 0,01671.
1. Determina la semidistanza focale c, la distanza Terra-Sole in afelio ra e quella in perielio rp
2. Calcola il valore del semiasse minore b;
3. Determina la velocità della Terra nel punto di perielio.
4. Verifica se i valori trovati sono coerenti con quelli riportati nel testo.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene detto che il semiasse maggiore dell’orbita della Terra è a = 1,496 x 10^11 m. Conoscendo il valore dell’eccentricità dell’ellisse, determiniamo tutte le grandezze relative alla figura, quali semiasse minore, distanza focale e, di conseguenza, le distanze in afelio e in perielio. Sapendo che, oltre alla definizione, il momento angolare si può esprimere anche in funzione dei due semiassi, instauriamo una relazione dalla quale esplicitare la velocità. Fatto ciò, ci rimane solamente da sostituire i valori numerici di cui disponiamo all’interno della formula e ottenere il risultato.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la semidistanza focale partendo dalla definizione di eccentricità:
$$e=\frac{c}{a}$$
da cui:
$$c=ea
=$$
$$=1,496\times10^{11}m\times0,01671
=2,5\times10^9m$$
Rappresento graficamente l’orbita per semplificare la spiegazione del ragionamento:
Posso notare come la distanza Terra-Sole in afelio sia data da:
$$r_a=a+c=1,496\times$$
$$\times10^{11}m+2,5\times10^{9}m=1,521\times10^{11}m$$
Determino ora la distanza in perielio per differenza tra l’asse maggiore e la distanza in afelio:
$$r_b=2a-r_a
=(2\times1,496-1,521)\times$$
$$\times10^{11}m=1,471\times10^{11}m$$
Conoscendo i valori della semidistanza focale e del semiasse maggiore, posso calcolare il semiasse minore b applicando le formule che derivano dall’equazione dell’ellisse:
$$a^2-b^2=c^2$$
da cui:
$$b
=
\sqrt{a^2-c^2}
=
\sqrt{…}
=$$
$$=
1,4958\times10^{11}m
\approx
1,496\times10^{11}m$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Possiamo notare che esso è praticamente uguale al valore del semiasse maggiore. Siamo dunque in presenza di un’orbita quasi circolare, fatto testimoniato anche dalla tendenza a zero dell’eccentricità.
So che è possibile dimostrare che il modulo del momento angolare di un pianeta di massa $M_T$ che ruota attorno al Sole su un’orbita di semiasse maggiore $a$ ed eccentricità $e$ è dato dalla seguente formula:
$$L=M_T\sqrt{\frac{GM_S}{a}}b$$
Sapendo che in perielio esso è anche, per definizione, uguale a:
$$L=r_pp_p\sin(90^\circ)=r_pM_Tv_p$$
Posso scrivere che:
$$r_pM_Tv_p=M_T\sqrt{\frac{GM_S}{a}}b$$
da cui:
$$v_p=\sqrt{\frac{GM_S}{a}}\frac{b}{r_p}
=\sqrt{…}\times$$
$$\times\frac{1,496\times10^{11}m}{1,471\times10^{11}m}
=
3,037\times10^4\frac{m}{s}$$
(i calcoli non sono interamente riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Confrontando i valori trovati con quelli riportati nel testo posso affermare che essi sono coerenti.
