Callisto satellite di Giove (M = 1.90 x 10^27 kg)
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Callisto, satellite di Giove (M = 1.90 x 10^27 kg), ha una massa di 1,076 x 10^23 kg. Calcola la velocità di Callisto e la sua distanza dal pianeta quando l’energia totale del sistema Callisto-Giove vale -3,62 x 10^30 J.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene presentato Callisto, satellite di Giove (M = 1,90 x 10^27 kg) di cui dobbiamo determinare velocità e distanza. Utilizzando le formule che mettono in relazioni diretta l’energia cinetica con l’energia potenziale gravitazionale e con l’energia meccanica totale (https://schout.it/2022/04/04/considera-un-satellite-di-massa-m-che/ ), possiamo facilmente calcolare queste grandezze. Determiniamo poi la velocità del satellite partendo dalla definizione di energia cinetica e la sua distanza dal pianeta facendo riferimento alla formula che esprime l’energia potenziale gravitazionale. Una volta esplicitate le due grandezze, dovremo solamente sostituire i valori numerici ed effettuare i calcoli.
Risoluzione dell’Esercizio:
E’ possibile dimostrare che l’energia meccanica totale è pari all’opposto dell’energia cinetica (v. https://schout.it/2022/04/04/considera-un-satellite-di-massa-m-che/ ), dunque:
$$E_{tot}=-K$$
da cui:
$$K=-E_{tot}=$$
$$=-(-3,62\times10^{30}J)=3,62\times10^{30}J$$
Conoscendo il valore dell’energia cinetica posso ora determinare la velocità di Callisto:
$$K=\frac{1}{2}m_Cv_C^2$$
da cui:
$$v_C
=
\sqrt
{
\frac{2K}{m_C}
}
=$$
$$=\sqrt
{
\frac{2\times3,62\times10^{30}J}{1,076\times10^{23} kg}
}
=8,20\times10^3\frac{m}{s}$$
E’ anche possibile dimostrare che che l’energia potenziale è pari all’opposto del doppio dell’energia cinetica (v. https://schout.it/2022/04/04/considera-un-satellite-di-massa-m-che/ ), quindi:
$$U=-2K=$$
$$=-2\times3,62\times10^{30}J=-7,24\times10^{30}J$$
So che l’energia potenziale gravitazionale può essere anche espressa in funzione della massa del satellite tramite la seguente formula:
$$U=-G\frac{m_CM_G}{r}$$
da cui:
$$r
=
-G\frac{m_CM_G}{U}
=-6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}
\times$$
$$\times\frac{1,076\times10^{23}kg\times1,90\times10^{27}kg}{-7,24\times10^{30}J}
=$$
$$=1,88\times10^{9}m$$
