Un elettrone è fermo nei pressi di un piano
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un elettrone è fermo nei pressi di un piano quadrato di lato L = 1,8 m, su cui sono distribuiti uniformemente n =4,9 x 10^6 elettroni. Trascura la forza peso. A un certo istante, l’elettrone è lasciato libero di muoversi. Calcola la distanza percorsa dall’elettrone in un tempo pari a t = 2,0 ms, nell’approssimazione di un piano infinito di cariche. Dopo aver ottenuto il risultato, ritieni che l’approssimazione sia corretta?
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un elettrone che è fermo nei pressi di un piano quadrato di lato L. Conoscendo il numero elettroni presenti sulla superficie, possiamo agilmente calcolare la densità superficiale di carica. Fatto ciò, determiniamo il valore dell’accelerazione applicando il secondo principio della dinamica (in questo caso possiamo trascurare la forza peso). Trovato il risultato applichiamo l’equazione oraria del moto uniformemente accelerato e calcoliamo così la distanza percorsa dall’elettrone in 2 millisecondi. Osservando i dati ci rendiamo infine conto che l’approssimazione proposta dal quesito non è molto compatibile con i dati concreti, in quanto 4,8 km è una grandezza molto più grande rispetto al lato del piano quadrato.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la densità superficiale del piano quadrato:
$$\sigma=\frac{nq_e}{L^2}
=
\frac{4,9\times10^6\times1,602\times10^{-19}C}{(1,8m)^2}=$$
$$=2,42\times10^{-13}\frac{C}{m^2}$$
Determino ora l’accelerazione con cui si muove l’elettrone applicando il secondo principio della dinamica e ricordando che posso trascurare la forza peso:
$$F_e=m_ea$$
da cui:
$$a=\frac{F_e}{m_e}$$
Sapendo che la forza elettrica può essere espressa in funzione del campo elettrico, che, nel caso di un piano infinito di carica nel vuoto, è pari a $E=\frac{\left|\sigma\right|}{2\epsilon_0}$, dunque:
$$E=\frac{F_e}{q}$$
da cui:
$$F_e=Eq=\frac{\left|\sigma\right|}{2\epsilon_0}\left|q\right|$$
(mettiamo il valore assoluto perché ci interessa il modulo)
Posso riscrivere la relazione dell’accelerazione come:
$$a=\frac{F_e}{m_e}
=
\frac{\left|\sigma q_e\right|}{2\epsilon_0m_e}
=$$
$$=\frac{2,42\times10^{-13}\frac{C}{m^2}\times1,602\times10^{-19}C}{2\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\times9,11\times10^{-31}kg}$$
$$=2,4\times10^9\frac{m}{s^2}$$
Determino ora la distanza percorsa dall’elettrone in 2,0 ms applicando la legge oraria del moto uniformemente accelerato:
$$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$
Imponendo $x_0=0$ e ricordando che la pallina parte da ferma ($v_0=0$):
$$x=\frac{1}{2}at^2
=\frac{1}{2}\times2,4\times10^9\frac{m}{s^2}\times$$
$$\times(2,0\times10^{-3}s)^2
=
4800m
=4,8km$$
Osservando il risultato posso affermare che l’approssimazione del piano infinito di carica non è molto accurata in quanto la distanza percorsa dall’elettrone è estremamente più grande rispetto alle dimensioni effettive del piano quadrato.
