Una biglia di massa 120 g si muove
Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | CONSERVAZIONE QUANTITÀ DI MOTO
Una biglia di massa 120 g si muove su un piano orizzontale senza attrito con velocità di 3,8 m/s lungo il verso positivo dell’asse x. A un certo istante, la biglia urta contro due biglie ferme una accanto all’altra, di massa rispettivamente 190 g e 80,0 g e si ferma. Dopo l’urto, la più pesante delle due biglie si muove con velocità di 2,4 m/s in una direzione che forma un angolo di 30° con il verso positivo dell’asse x. Determina:
1. L’angolo formato con la direzione positiva dell’asse x dal vettore velocità della terza biglia dopo l’urto;
2. Il vettore velocità della terza biglia dopo l’urto e il suo modulo.
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
2) Conservazione della Quantità di Moto
In questa lezione introduciamo una legge fondamentale che tornerà utile nel proseguo del capitolo e che ci spiega fenomeni come il rinculo di una pistola. Abbiamo già affrontato un principio di conservazione nel capitolo del lavoro e possiamo dire che, anche in questo caso, il concetto di base è abbastanza similare. Dopo averne fornito un breve enunciato, vedremo approfonditamente la dimostrazione, così da fornire una infarinatura a 360°. Fatta questa breve introduzione, partiamo subito.
In questo esercizio vi è una biglia di massa 120 g che si muove su un piano orizzontale senza attrito. Scomponiamo la risoluzione dell’esercizio lungo gli assi. Imponiamo la conservazione della quantità di moto prima lungo l’asse verticale e poi lungo quello orizzontale, in maniera tale da determinare i valori della quantità di moto finale della terza biglia. A questo punto, sfruttiamo i teoremi dei triangoli rettangoli per ricavare l’angolo richiesto. Non ci resta altro da fare che calcolare il modulo della velocità della terza biglia. Per farlo otteniamo dapprima le sue componenti lungo gli assi e applichiamo poi il teorema di Pitagora.
Divido l’esercizio lungo gli assi.
Considero l’asse verticale e impongo la conservazione della quantità di moto:
$$p_{0_y}=p_{f_y}$$
ovvero:
$$p_{0_{1y}}+p_{0_{2y}}+p_{0_{3y}}=p_{f_{1y}}+p_{f_{2y}}+p_{f_{3y}}$$
sapendo che la biglia 1 si muove orizzontalmente e si ferma dopo l’urto, mentre le biglie 2 e 3 partono da uno stato di quiete, ho che:
$$0=p_{f_{2y}}+p_{f_{3y}}$$
ovvero:
$$p_{f_{3y}}=-p_{f_{2y}}=-m_2v_2\sin(30^\circ)=-0,190kg$$
$$\times2,4\frac{m}{s}\sin(30^\circ)=-0,23kg\cdot \frac{m}{s}$$
Considero ora l’asse orizzontale e impongo la conservazione della quantità di moto:
$$p_{0_x}=p_{f_x}$$
ovvero:
$$p_{0_{1x}}+p_{0_{2x}}+p_{0_{3x}}=p_{f_{1x}}+p_{f_{2x}}+p_{f_{3x}}$$
sapendo che inizialmente le biglie 2 e 3 sono ferme, mentre dopo l’urto risulta ferma la biglia 1, ho che:
$$p_{0_{1x}}=p_{f_{2x}}+p_{f_{3x}}$$
ovvero:
$$p_{f_{3x}}=p_{0_{1x}}-p_{f_{2x}}=m_1v_1-m_2v_2\cos(30^\circ)$$
$$=0,120kg\times3,8\frac{m}{s}-0,190kg\times$$
$$\times2,4\frac{m}{s}\cos(30^\circ)=0,062kg\cdot \frac{m}{s}$$
So che la direzione della velocità coincide con quella della quantità di moto, pertanto determino l’angolo $\alpha$ che si forma tra $p_{f_{3y}}$ e $p_{f_{3x}}$:
$$\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{p_{f_{3y}}}{p_{f_{3x}}}\right)=$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{-0,23kg\cdot\frac{m}{s}}{0,062kg\cdot\frac{m}{s}}\right)=-75^\circ$$
Determino ora la componente orizzontale della velocità della terza biglia partendo dalla definizione di quantità di moto:
$$p_{f_{3x}}=m_3v_{3x}$$
da cui:
$$v_{3x}=\frac{p_{f_{3x}}}{m_3}=\frac{0,062kg\cdot\frac{m}{s}}{0,0800kg}=0,78\frac{m}{s}$$
Analogamente, calcolo la componente verticale:
$$v_{3y}=\frac{p_{f_{3y}}}{m_3}=\frac{-0,23kg\cdot\frac{m}{s}}{0,0800kg}=-2,9\frac{m}{s}$$
Dunque il modulo del vettore velocità relativo alla terza biglia è pari a (applico il teorema di Pitagora):
$$v_3=\sqrt{v_{3x}^2+v_{3y}^2}=$$
$$=\sqrt{0,78^2+(-2,9)^2}\frac{m}{s}=3,0\frac{m}{s}$$
