Un pendolo è formato da un’asticella rigida
Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | URTO ELASTICO
Un pendolo è formato da un’asticella rigida, di lunghezza l e massa trascurabile, e da una sferetta di massa m = 1,0 kg. Il pendolo viene lasciato libero di muoversi partendo dalla posizione θ = 90° rispetto alla verticale. Quando arriva alla posizione θ = 0°, la sferetta urta elasticamente contro una biglia di massa M = 2,13 kg posta in quiete su un piano orizzontale. La biglia comincia a muoversi con velocità v = 2,0 m/s. Calcola il valore della lunghezza l del pendolo.
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
2) Urto Elastico
In questa lezione andiamo a introdurre il concetto di urto elastico.
Prima di cominciare è bene però specificare per bene cosa sia un urto. Esso è una situazione in cui due corpi differenti si scontrano, colpendosi tra di loro. Durante l’impatto, si generano delle forze d’urto che vengono chiamate forze impulsive (per via del fatto che il loro modulo aumenta rapidamente fino a un massimo molto grande per poi tornare, altrettanto rapidamente, a zero) e che rendono trascurabili le forze esterne. Si viene dunque a creare una sorta di sistema isolato, tale per cui la quantità di moto totale si conserva nello scontro.
In questo esercizio vi è un pendolo che è formato da un’asticella rigida di massa trascurabile. Imponiamo innanzitutto la conservazione dell’energia meccanica, sapendo che all’inizio parte da ferma da un’altezza coincidente alla lunghezza dell’asticella, mentre alla fine si muove a velocità $V_s$ a quota zero. Dalla relazione che otteniamo, esplicitiamo quest’ultima grandezza in funzione della lunghezza dell’asta, in maniera tale da poterla poi sostituire nelle formule dell’urto elastico. A questo punto, non ci resta altro che esplicitare la lunghezza $l$, sostituire i valori numerici di cui disponiamo e fare i calcoli.
So che la sferetta parte da ferma da un’altezza coincidente alla lunghezza dell’asticella, perciò possiede un’energia meccanica data da:
$$E_{m_0}=K_0+U_0=0+mgl$$
Quando arriva alla posizione θ = 0°, essa si trova a quota zero, perciò :
$$E_{m_f}=K_f+U_f=\frac{1}{2}mV_s^2+0$$
Impongo la conservazione dell’energia meccanica e ricavo la velocità con cui la sfera si muove prima dell’urto in funzione della lunghezza dell’asta:
$$E_{m_f}=E_{m_0}$$
ovvero:
$$\frac{1}{2}mV_s^2=mgl$$
da cui:
$$V_s=\sqrt{2gl},(1)$$
Scrivo ora la formula che esprime la velocità $v$ della biglia dopo l’urto elastico:
$$v=\frac{2mV_s+(M-m)v_{b_{0}}}{m+M}$$
ricordando che la biglia è inizialmente in quiete, ho che:
$$v=\frac{2mV_s}{m+M}$$
sostituendo la (1):
$$v=\frac{2m\sqrt{2gl}}{m+M}$$
da cui ricavo che la lunghezza dell’asticella è pari a:
$$l=\frac{v^2(m+M)^2}{8gm^2}=$$
$$=\frac{(2,0\frac{m}{s})^2\times(1,0+2,13)^2kg^2}{8\times9,8\frac{m}{s^2}\times(1,0kg)^2}=0,50m$$
