Un bambino di massa 30.0 kg
Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | CONSERVAZIONE QUANTITÀ DI MOTO
Un bambino di massa 30.0 kg, fermo su un carrello libero di muoversi senza attrito di massa 4,00 kg, spara con un fucile giocattolo una pallina di 100 g in direzione orizzontale. La velocità acquisita dalla pallina è di 5,00 m/s. Calcola l’energia acquisita dal sistema bambino-carrello e dalla pallina dopo lo sparo.
Il bambino sale su un secondo carrello e ripete lo sparo. L’energia acquisita dalla pallina dopo lo sparo è 320 volte quella acquisita dal sistema bambino-carrello. Quanto vale la massa del secondo carrello?
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
2) Conservazione della Quantità di Moto
In questa lezione introduciamo una legge fondamentale che tornerà utile nel proseguo del capitolo e che ci spiega fenomeni come il rinculo di una pistola. Abbiamo già affrontato un principio di conservazione nel capitolo del lavoro e possiamo dire che, anche in questo caso, il concetto di base è abbastanza similare. Dopo averne fornito un breve enunciato, vedremo approfonditamente la dimostrazione, così da fornire una infarinatura a 360°. Fatta questa breve introduzione, partiamo subito.
In questo esercizio vi è un bambino di massa 30.0 kg fermo su un carrello. Determiniamo innanzitutto la velocità acquisita dal sistema bambino-carrello dopo lo sparo imponendo la conservazione della quantità di moto. Calcoliamo poi le quantità di energia acquisite rispettivamente dal sistema e dalla pallina sparata. Ripetiamo le stesse operazioni in riferimento del secondo carrello. L’unica differenza consiste nell’instaurare una relazione tra le variazioni di energia, da cui esplicitare la massa del carrello.
Determino la velocità acquisita dal sistema bambino-carrello dopo lo sparo imponendo la conservazione della quantità di moto:
$$p_0=p_f$$
dato che inizialmente sono tutti fermi:
$$0=p_f$$
ovvero:
$$0=(m_b+m_c)v_{b-c}+m_pv_p$$
da cui:
$$v_{b-c}=-\frac{m_pv_p}{m_b+m_c}=$$
$$=-\frac{0,100kg\times5,00\frac{m}{s}}{30,0kg+4,00kg}=-0,0147\frac{m}{s}$$
(il segno “-“ indica che si muove nel verso opposto a quello della pallina)
Perciò, il sistema bambino-carrello acquisisce un’energia pari a:
$$\Delta K_{b-c}=\frac{1}{2}(m_b+m_c)\Delta v_{b-c}^2=\frac{1}{2}\times$$
$$\times(30,0kg+4,00kg)\times(-0,0147-0)^2\frac{m^2}{s^2}$$
$$=3,67\times10^{-3}J$$
Mentre la pallina acquisisce un’energia pari a:
$$\Delta K_p=\frac{1}{2}m_p\Delta v_p^2=$$
$$=\frac{1}{2}\times0,100kg\times(5,00-0)^2\frac{m^2}{s^2}=1,25J$$
La situazione si ripete su un secondo carrello.
Dal testo so che, in questo caso l’energia acquisita dalla pallina è 320 volte quella acquisita dal sistema bambino carrello, perciò:
$$\Delta K_p=320\Delta K_{b-c}$$
ovvero:
$$\frac{1}{2}m_p\Delta v_p^2=320\times\frac{1}{2}(m_b+m_c)\Delta v_{b-c}^2$$
Sapendo che la variazione di velocità del sistema bambino carrello dipende dalla seguente relazione trovata in precedenza:
$$v_{b-c}=-\frac{m_pv_p}{m_b+m_c}$$
E ricordando che le velocità iniziali sono nulle, ho che (tolgo 1/2 da ambo le parti e sostituisco):
$$m_pv_p^2=320(m_b+m_c)\left(-\frac{m_pv_p}{m_b+m_c}\right)^2$$
da cui ricavo che la massa del secondo carrello è di:
$$m_c=320m_p-m_b=$$
$$=320\times0,100kg-30,0kg=2,0kg$$
