In una gara sui 100 m piani
Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
In una gara sui 100 m piani, un atleta accelera in modo uniforme per i primi 4,00 secondi e poi mantiene la velocità raggiunta fino al traguardo. La corsa ha una durata complessiva di 10,50 s.
1. Calcola l’accelerazione del corridore nei primi 4,00 s della corsa
2. Calcola in quanto tempo il corridore percorre i primi 50,0 m.
3. Scrivi la legge oraria del moto complessivo.
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica“; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
2) Moto Uniformemente Accelerato
Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.
Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri.
In questo esercizio ci troviamo in una gara di 100 metri piani. Suddividiamo innanzitutto la corsa dell’atleta in due: una prima parte in cui egli si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato e una seconda parte in cui procede di moto rettilineo uniforme. Scriviamo le relazioni che esprimono le distanze percorse nei due casi, dopodiché, sapendo che la gara è lunga 100 metri, imponiamo un’uguaglianza che ci permette di esplicitare l’accelerazione. A questo punto, calcoliamo i valori numerici di tempi e distanze e scriviamo infine la legge oraria del moto complessivo.
La corsa dell’atleta può essere suddivisa in due parti: la prima di moto rettilineo uniformemente accelerato e la seconda di moto rettilineo uniforme. Scrivo la formula che esprime la distanza percorsa nella fase di accelerazione sapendo che l’atleta parte da fermo nell’origine:
$$x_{1}=\frac{1}{2}at_{1}^2=\frac{1}{2}a\times(4,00s)^2=(8,00s^2)\cdot a$$
Al termine della prima parte, l’atleta procede a una velocità costante, calcolabile tramite la legge della velocità relativa al moto uniformemente accelerato:
$$v_2=0+at_1=(4,00s)\cdot a, (1)$$
Scrivo ora la formula che esprime la distanza percorsa nella seconda parte:
$$x_2=v_2t_2=v_2\cdot(10,50s-4,00s)=$$
$$=(6,50s)\cdot v_2$$
sostituendo la (1):
$$x_2=(6,50s)\times(4,00s)\cdot a=(26,0s^2)\cdot a$$
So che la gara prevede di percorrere 100 metri, pertanto:
$$x_1+x_2=100m$$
ovvero:
$$(8,00s^2)\cdot a+(26,0s^2)\cdot a=100m$$
che è come scrivere:
$$(34,0s^2)\cdot a=100m$$
da cui:
$$a=\frac{100m}{34,0s^2}=2,94\frac{m}{s^2}$$
Posso quindi ora determinare la distanza effettivamente percorsa accelerando:
$$x_{1}=(8,00s^2)\times2,94\frac{m}{s^2}=23,5m$$
Ciò implica che i restanti (100 – 23,5) m = 76,5 metri saranno percorsi in 6,50 secondi alla velocità di:
$$v_2=\frac{x_2}{t_2}=\frac{76,5m}{6,50s}=11,8\frac{m}{s}$$
Calcolo ora il tempo in cui il corridore percorre i primi 50,0 metri ricordando che per i primi 4,00 secondi egli si muove di moto uniformemente accelerato e percorre 23,5 metri, mentre i restanti (50 – 23,5) m = 26,5 metri li fa di moto rettilineo uniforme in un tempo pari a:
$$t_{2_{50m}}=\frac{26,5m}{11,8\frac{m}{s}}=2,25s$$
Dunque, per fare i primi 50 metri della gara, l’atleta impiega complessivamente un tempo di:
$$t_{tot}=4,00s+2,25s=6,25s$$
Scrivo infine la legge oraria del moto complessivo:
$$x=\begin{cases}\frac{1}{2}at^2,\ 0\leq t\leq4,00s\\x_{1}+v_2t,\ 4,00s<t\leq10,50s\end{cases}$$
ovvero:
$$x=\begin{cases}\frac{1}{2}\times \left(2,94\frac{m}{s^2}\right)t^2\\23,5m+\left(11,8\frac{m}{s}\right)t\end{cases}=$$
$$\begin{cases}\left(1,47\frac{m}{s^2}\right)t^2,\ 0\leq t\leq4,00s\\23,5m+\left(11,8\frac{m}{s}\right)t,\ 4 s<t\leq10,50s\end{cases}$$
(il moto rettilineo uniforme comincia nella posizione $x_1$, ovvero dove finisce la fase di accelerazione, e prevede una velocità costante pari a $v_2$, calcolata precedentemente)
