Si vuole misurare a che altezza
Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | CADUTA LIBERA
Si vuole misurare a che altezza arriva un sasso lanciato verso l’alto in un certo intervallo di tempo. La velocità iniziale è v0 = (8,0 ± 0,3) m/s. Calcola a che altezza arriva il sasso e l’incertezza assoluta associata. Assumi che l’accelerazione di gravità sia conosciuta senza incertezze.
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica“; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
2) Caduta Libera
In questa ultima lezione del capitolo, affrontiamo la caduta libera, ovvero un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato.
Analizzeremo tre casi specifici: caduta da un’altezza h con partenza da fermo, lancio verso il basso e lancio verso l’alto. Ovviamente, tutto ciò verrà preceduto da una brevissima parte generale, in cui descriviamo tutte le caratteristiche necessarie per comprendere al meglio l’argomento. È bene specificare che, essendo un caso particolare del moto uniformemente accelerato, è necessario conoscere a menadito quest’ultimo.
In questo esercizio ci viene detto che si vuole misurare a che altezza arriva un sasso lanciato verso l’alto. Imponiamo innanzitutto le condizioni del sistema di riferimento: origine nel punto di lancio, direzione verticale e verso dal basso verso l’alto. Tramite opportuni sostituzioni matematiche, esprimiamo poi l’altezza massima raggiungibile dal sasso in funzione della velocità iniziale di lancio. A questo punto, calcoliamo prima il suo valore attendibile e dopo il suo errore relativo, prestando ben attenzione a rispettare per filo e per segno le regole che ci sono. Fatto ciò, ricaviamo l’errore assoluto con una semplice formula inversa e scriviamo il risultato della misura.
Impongo le condizioni del sistema di riferimento: origine nel punto di lancio, direzione verticale e verso dal basso verso l’alto.
Ricavo il tempo di salita dalla legge della velocità, ricordando che al raggiungimento dell’altezza massima la velocità finale è pari a zero:
$$0=v_0-gt$$
da cui:
$$t=\frac{v_0}{g}$$
E lo sostituisco nella legge oraria:
$$h_{max}=h_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^2$$
ovvero:
$$h_{max}=0+v_0\frac{v_0}{g}-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0}{g}\right)^2=\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}$$
da cui:
$$h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$$
Calcolo il valore attendibile dell’altezza massima, ricordando che l’accelerazione di gravità è conosciuta senza incertezze:
$$\bar h_{max}=\frac{\bar v_0^2}{2g}=\frac{(8,0\frac{m}{s})^2}{2\times9,8\frac{m}{s^2}}=3,3m$$
Determino ora il suo errore relativo, sapendo che esso dipende esclusivamente dall’errore relativo della velocità iniziale (preso due volte perché la grandezza viene elevata al quadrato), in quanto l’accelerazione di gravità è conosciuta senza incertezze:
$$\epsilon_{h_{max}}=2\epsilon_{v_0}=2\frac{e_{v_0}}{\bar v_0}=2\times\frac{0,3\frac{m}{s}}{8,0\frac{m}{s}}=0,075$$
Posso quindi calcolare l’errore assoluto dell’altezza massima, partendo dalla definizione di errore relativo:
$$\epsilon_{h_{max}}=\frac{e_{h_{max}}}{\bar h_{max}}$$
da cui:
$$e_{h_{max}}=\bar h_{max}\epsilon_{h_{max}}=3,3m\times0,075=0,2m$$
(da regola l’errore assoluto deve avere una sola cifra significativa)
L’altezza raggiunta dal sasso è dunque pari a: $h_{max}=(\bar h_{max}\pm e_{h_{max}})=(3,3\pm0,2)m$
