Un pallone viene lasciato cadere
Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | CADUTA LIBERA
Un pallone viene lasciato cadere da una torre alta 40,5 m. Un secondo pallone viene lanciato da terra verso l’alto nello stesso istante di tempo. I due palloni si incontrano a metà altezza.
1. Calcola il modulo della velocità iniziale istantanea con cui viene lanciato il secondo pallone
2. Calcola il modulo della velocità istantanea del primo e del secondo pallone nell’istante in cui si incontrano
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica“; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
2) Caduta Libera
In questa ultima lezione del capitolo, affrontiamo la caduta libera, ovvero un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato.
Analizzeremo tre casi specifici: caduta da un’altezza h con partenza da fermo, lancio verso il basso e lancio verso l’alto. Ovviamente, tutto ciò verrà preceduto da una brevissima parte generale, in cui descriviamo tutte le caratteristiche necessarie per comprendere al meglio l’argomento. È bene specificare che, essendo un caso particolare del moto uniformemente accelerato, è necessario conoscere a menadito quest’ultimo.
In questo esercizio vi è un pallone che viene lasciato cadere da una torre altra 40,5 metri. Imponiamo innanzitutto le condizioni del sistema di riferimento: origine nel punto di lancio del secondo pallone, direzione verticale e verso dal basso verso l’alto. Scriviamo poi l’equazione oraria della prima palla, in maniera tale da poterla utilizzare per calcolare il tempo impiegato per giungere alla quota descritta nel testo. A questo punto, sostituiamo il valore trovato all’interno dell’equazione oraria del secondo pallone, così da ricavare la sua velocità iniziale. Infine, determiniamo le velocità dei due oggetti al momento dell’incontro sostituendo il tempo nelle rispettive leggi della velocità.
Impongo le condizioni del sistema di riferimento: origine nel punto di lancio del secondo pallone, direzione verticale e verso dal basso verso l’alto.
Scrivo la legge oraria della prima palla sapendo che viene lasciata cadere e ha quindi velocità iniziale nulla:
$$h_1=h_{0_1}+v_{0_1}t-\frac{1}{2}gt^2=h_{0_1}-\frac{1}{2}gt^2$$
Sapendo che i due oggetti si incontrano a metà altezza e sapendo che vengono lanciati nello stesso istante, posso determinare il tempo impiegato da entrambi per giungere a quella quota partendo dalla legge oraria appena scritta:
$$\frac{h_{tot}}{2}=h_{0_1}-\frac{1}{2}gt^2$$
da cui:
$$t_{inc}=\sqrt{\frac{2h_{0_1}-h}{g}}=$$
$$=\sqrt{\frac{2\times40,5m-40,5m}{9,81\frac{m}{s^2}}}=2,03s$$
Posso dunque calcolare la velocità iniziale del secondo pallone sostituendo il valore appena trovato all’interno della sua equazione oraria:
$$\frac{h_{tot}}{2}=h_{0_2}+v_{0_2}t_{inc}-\frac{1}{2}gt_{inc}^2$$
da cui:
$$v_{0_2}=\frac{\frac{h_{tot}}{2}-h_{0_2}+\frac{1}{2}gt_{inc}^2}{t_{inc}}=$$
$$=\frac{\frac{40,5m}{2}-0+\frac{1}{2}\times9,81\frac{m}{s^2}\times(2,03s)^2}{2,03s}=$$
$$=19,9\frac{m}{s^2}$$
Determino ora la velocità istantanea del primo pallone nell’istante in cui avviene l’incontro, applicando la legge della velocità:
$$v_1=v_{0_1}-gt_{inc}=$$
$$=0-9,81\frac{m}{s^2}\times2,03s=-19,9\frac{m}{s}$$
(il segno “-“ indica che il pallone si sta muovendo verso il basso; il modulo è:
$$|v_1|=\left|-19,9\frac{m}{s}\right|=19,9\frac{m}{s}$$
Analogamente, ricavo la velocità istantanea del secondo pallone:
$$v_2=v_{0_2}-gt_{inc}=$$
$$=19,9\frac{m}{s}-9,81\frac{m}{s^2}\times2,03s=0\frac{m}{s}$$
